Question

5．设a、b、c∈R，且3^a=4^b=6^c，则以下结论正确的个数为（　　）
①若a、b、c∈R⁺，则3a＜4b＜6c
②a、b、c∈R⁺，则$\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$
③a、b、c∈R^-，则a＜b＜c．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 由3^a=4^b=6^c=k＞0，可得a=$\frac{lgk}{lg3}$，b=$\frac{lgk}{lg4}$，c=$\frac{lgk}{lg6}$．
①a、b、c∈R⁺，k＞1，则lgk＞0，3a=3$\frac{lgk}{lg3}$=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，4b=4$\frac{lgk}{lg4}$=$\frac{lgk}{lg\root{4}{4}}$，6c=6$\frac{lgk}{lg6}$=$\frac{lgk}{lg\root{6}{6}}$，
通过转化为：$lg\root{3}{3}$=$lg\root{12}{{3}^{4}}$，$lg\root{4}{4}$=$lg\root{12}{{4}^{3}}$，$lg\root{6}{6}$=lg$\root{12}{{6}^{2}}$，进而得出大小关系．
②a、b、c∈R⁺，k＞1，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=$\frac{lg3}{lgk}$+$\frac{2lg4}{lgk}$=$\frac{lg48}{lgk}$，$\frac{2}{c}$=$\frac{2lg6}{lgk}$=$\frac{lg36}{lgk}$，即可判断出关系．
③a、b、c∈R^-，则0＜k＜1，lgk＜0，$0＜\frac{1}{lg6}$＜$\frac{1}{lg4}$＜$\frac{1}{lg3}$．即可得出大小关系．

解答 解：由3^a=4^b=6^c=k＞0，
∴a=$\frac{lgk}{lg3}$，b=$\frac{lgk}{lg4}$，c=$\frac{lgk}{lg6}$．
①a、b、c∈R⁺，k＞1，则lgk＞0，3a=3$\frac{lgk}{lg3}$=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，4b=4$\frac{lgk}{lg4}$=$\frac{lgk}{lg\root{4}{4}}$，6c=6$\frac{lgk}{lg6}$=$\frac{lgk}{lg\root{6}{6}}$，
∵$lg\root{3}{3}$=$lg\root{12}{{3}^{4}}$，$lg\root{4}{4}$=$lg\root{12}{{4}^{3}}$，$lg\root{6}{6}$=lg$\root{12}{{6}^{2}}$，
$\root{12}{{3}^{4}}$=$\root{12}{81}$＞$\root{12}{64}$=$\root{12}{{4}^{3}}$＞$\root{12}{{6}^{2}}$=$\root{6}{6}$．
∴$lg\root{3}{3}$＞$lg\root{4}{4}$＞$lg\root{6}{6}$＞0，
∴0＜$\frac{1}{lg\root{3}{3}}$＜$\frac{1}{lg\root{4}{4}}$＜$\frac{1}{lg\root{6}{6}}$，
∴3a＜4b＜6c．，因此①正确．
②a、b、c∈R⁺，k＞1，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=$\frac{lg3}{lgk}$+$\frac{2lg4}{lgk}$=$\frac{lg48}{lgk}$，$\frac{2}{c}$=$\frac{2lg6}{lgk}$=$\frac{lg36}{lgk}$
∴$\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$不成立，因此②不正确．
③a、b、c∈R^-，则0＜k＜1，lgk＜0，$0＜\frac{1}{lg6}$＜$\frac{1}{lg4}$＜$\frac{1}{lg3}$．
∴$\frac{lgk}{lg3}$＜$\frac{lgk}{lg4}$＜$\frac{lgk}{lg6}$，即a＜b＜c，因此③正确．
综上可得：只有①③正确．
故选：B．

点评 本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．