Question

17．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为128000cm³．

Answer 1

分析 设水箱底长为xcm，则高为$\frac{120-x}{2}$cm，求出容器的容积，利用导数求最值，即可得出结论．

解答 解：设水箱底长为xcm，则高为$\frac{120-x}{2}$cm（0＜x＜120）．
设容器的容积为ycm³，则有y=-$\frac{1}{2}{x}^{3}+60{x}^{2}$． 
求导数，有y′=-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+120x．   
令y′=0，解得x=80（x=0舍去）．
当x∈（0，80）时，y'＞0；当x∈（80，120）时，y'＜0，
因此，x=80是函数y=-$\frac{1}{2}{x}^{3}+60{x}^{2}$的极大值点，也是最大值点，此时y=128000cm³．
故答案为：128000cm³．

点评 本题考查了立方体容积计算方法，解答关键是求出水箱的底边长和高，注意挖掘题目中的隐含条件，同时考查了利用导数研究函数的最值，是中档题．