Question

2．已知函数f（x）=|x+2|-|x-1|
（1）求该函数值域；
（2）设$g（x）=\frac{{a{x^2}-3x+3}}{x}（a＞0）$，若?s∈（0，+∞），?t∈R，恒有g（s）≥f（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义，得出分段函数，即可求该函数值域；
（2）?s∈（0，+∞），t∈R恒有g（s）≥f（t）?g（s）_min≥f（t）_max，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3，x＜-2\\ 2x+1，-2≤x≤1\\ 3，x＞1\end{array}\right.$，∴f（x）∈[-3，3]…（5分）
（2）$g（x）=\frac{{a{x^2}-3x+3}}{x}=ax+\frac{3}{x}-3$，s∈（0，+∞），$g（s）=as+\frac{3}{s}-3≥2\sqrt{3a}-3$，当且仅当as²=3时，等号成立，
?s∈（0，+∞），t∈R恒有g（s）≥f（t）?g（s）_min≥f（t）_max
则$2\sqrt{3a}-3≥3$，∴a≥3…（10分）

点评 本题考查绝对值函数，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．