Question

20．若f（x）=e^x-ax²+（a-e）x有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （0，e）
• C． [1，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得f（1）=0，则方程转化为a=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$有两个不同的实数根．设g（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$，求出导数，判断函数值的符号和对x讨论，x＜0，0＜x＜1，x＞1三种情况，判断单调性，画出图象，即可得到所求a的范围．

解答 解：函数f（x）=e^x-ax²+（a-e）x，
可得f（1）=e-a+a-e=0，
即有x=1为f（x）的一个零点，
则e^x-ax²+（a-e）x=0，
即为a=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$有两个不同的实数根．
设g（x）=$\frac{{e}^{x}-ex}{{x}^{2}-x}$，
由y=e^x-ex的导数为y′=e^x-e，
当x＞1时，y′＞0，y=e^x-ex递增；
当x＜1时，y′＜0，y=e^x-ex递减．
即有x=1处，y=e^x-ex取得最小值，且为0，
即e^x-ex≥0，
当x＜0时，x²-x＞0，g（x）＞0；
当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x＞1时，g（x）＞0．
由g（x）的导数为g′（x）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}-3x{e}^{x}+e{x}^{2}}{（{x}^{2}-x）^{2}}$，
可设h（x）=x²e^x-3xe^x+e^x+ex²，
显然当x＜0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（-∞，0）递增；
又h（x）=xe^x（x+$\frac{1}{x}$-3+$\frac{ex}{{e}^{x}}$），
再令m（x）=x+$\frac{1}{x}$-3+$\frac{ex}{{e}^{x}}$，
m′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{e（1-x）}{{e}^{x}}$=（x-1）（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{{e}^{x}-ex}{x{e}^{x}}$），
即0＜x＜1时，m（x）递减；x＞1时，m（x）递增．
则m（x）＞m（1）=0，h（x）＞0在（0，1）∪（1，+∞）恒成立，
即有g′（x）＞0在（0，1）∪（1，+∞）恒成立，
则g（x）在（0，1），（1，+∞）递增，
画出函数y=g（x）的图象，可得a＞0时，
函数y=g（x）的图象和直线y=a有两个交点．
综上可得，a＞0时，f（x）=e^x-ax²+（a-e）x有三个不同的零点．
故选：A．

点评 不同考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想和数形结合的思想方法，构造函数和运用导数判断单调性，画出图象是解题的关键，属于难题．