Question

10．已知数列{a_n}、{b_n}中，对任何正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若数列{a_n}是首项和公差都是1的等差数列，求b₁，b₂，并证明数列{b_n}是等比数列；
（2）若数列{b_n}是等比数列，数列{a_n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求a_n=n，代入已知，求得n=1，n=2的情况，可得b₁，b₂，再由b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，则b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），两式相减可求数列b_n；
（2）同（1）可得a_n=$\frac{2-q}{b}$•2ⁿ+$\frac{q-1}{b}$•n+$\frac{q-2}{b}$，结合q的取值及等差数列的通项公式可求．

解答 解：（1）证明：依题意数列a_n的通项公式是a_n=n，
n=1时，a₁b₁=4-1-2=1；n=2时，a₁b₂+a₂b₁=8-2-2=4，
则b₁=1，b₂=2，
故等式即为b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，
b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），
两式相减可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1，
得b_n=2^n-1，对n=1也成立．
则数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）设等比数列{b_n}的首项为b，公比为q，
则b_n=bq^n-1，从而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，a_n=$\frac{2-q}{b}$•2ⁿ+$\frac{q-1}{b}$•n+$\frac{q-2}{b}$，
要使a_n+1-a_n是与n无关的常数，必需q=2．
即①当等比数列b_n的公比q=2时，数列{a_n}是等差数列，
其通项公式是a_n=$\frac{n}{b}$；
②当等比数列b_n的公比不是2时，数列{a_n}不是等差数列．

点评 本题主要考查等差数列、等比数列通项公式及由数列的“和”转化为“项”的综合应用，考查运算能力和推理论证能力．解题中体现了分类讨论的思想在解题中的应用．