Question

19．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的等边三角形，AA₁⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC₁，BB₁上的点，且EC=B₁F=2FB．
（1）证明：平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AA₁=3，求点E到平面ACF的距离．

Answer 1

分析 （1）取AC中点M，连接BM，则BM⊥AC，从而BM⊥平面ACC₁A₁．取AE中点N，连接MN，FN，则MN∥EC，推导出四边形BMNF是平行四边形，由此能证明平面AEF⊥平面ACC₁A₁．
（2）连接MF，由AC⊥平面BMNF，得AC⊥MF，设点E到平面ACF的距离为h，由V_E-ACF=V_F-ACE，能求出点E到平面ACF的距离．

解答 证明：（1）取AC中点M，连接BM，则BM⊥AC，因为AA₁⊥底面ABC，
所以侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，所以BM⊥平面ACC₁A₁．
取AE中点N，连接MN，FN，则MN∥EC，且$MN=\frac{1}{2}EC$，
又因为BB₁∥CC₁，EC=2FB，所以FB∥EC且$FB=\frac{1}{2}EC$，
所以MN∥FB且MN=FB，所以四边形BMNF是平行四边形，
所以FN∥BM，所以FN⊥平面ACC₁A₁．又FN?平面AEF，
所以平面AEF⊥平面ACC₁A₁． …（6分）
解：（2）由（1）可知，FN⊥平面ACE，连接MF，由AC⊥平面BMNF得AC⊥MF，
因为AA₁=3，依题意得$MF=\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{1^2}}=2$，所以${S_{△ACF}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
设点E到平面ACF的距离为h，由V_E-ACF=V_F-ACE，得$\frac{1}{3}{S_{△ACF}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ACE}}•FN$，
即$2h=\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$，所以$h=\sqrt{3}$
故点E到平面ACF的距离为$\sqrt{3}$．    …（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．