Question

14．设非零向量$\overrightarrow c，\overrightarrow d$，规定：$\overrightarrow c?\overrightarrow d=|{\overrightarrow c}||{\overrightarrow d}|sinθ$（其中$θ=＜\overrightarrow c，\overrightarrow d＞$），F₁、F₂是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，点A，B分别是椭圆C的右顶点、上顶点，若$\overrightarrow{OA}?\overrightarrow{OB}=2\sqrt{3}$，椭圆C的长轴的长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₂的直线l交椭圆C于点M，N，若$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意求出a利用新定义求出b，即可求解椭圆C的方程．
（2）①当直线l为：y=0，验证是否符合题意；②当直线l不在x轴上时，由（1）知F₂为（1，0），设l为：x=my+1，将其代入椭圆C的方程利用韦达定理以及弦长公式，通过三角形的面积，求出m，得到直线方程．

解答 解：（1）由题意：2a=4⇒a=2，$\overrightarrow{OA}?\overrightarrow{OB}=absin{90°}=ab=2\sqrt{3}$，
∴$b=\sqrt{3}$，∴所求椭圆C为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）①当直线l为：y=0，即在x轴上时，$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=|{\overrightarrow{OM}}||{\overrightarrow{ON}}|sin{180°}=0≠\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$不符合题意；
②当直线l不在x轴上时，由（1）知F₂为（1，0），
设l为：x=my+1，将其代入椭圆C的方程得：（3m²+4）x²+6my-9=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}}\\{{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}}\end{array}}\right.$，
∴$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{（{y_1}+{y_2}{）^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{\frac{{36{m^2}}}{{{{（3{m^2}+4）}^2}}}+\frac{36}{{3{m^2}+4}}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，
又$\overrightarrow{OM}?\overrightarrow{ON}=|{\overrightarrow{OM}}||{\overrightarrow{ON}}|sin＜\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}＞=2{S_{△OAB}}$=$2×\frac{1}{2}×|{O{F_2}}|×|{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}=\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，
解得：m²=1或${m^2}=-\frac{17}{18}$（舍去），即m=±1．
综上，直线l的方程为：y=x-1或y=-x+1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．