Question

9．（Ⅰ）比较（x+1）（x-3）与（x+2）（x-4）的大小．
（Ⅱ）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由作差法分析可得：（x+1）（x-3）-（x+2）（x-4）=（x²-2x-3）-（x²-2x-8）=5＞0，即可得（x+1）（x-3）＞（x+2）（x-4）；
（Ⅱ）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，结合题意可得x+y=18，矩形菜园的面积为xym²．由基本不等式分析可得$\sqrt{xy}$≤$\frac{x+y}{2}$=$\frac{18}{2}$=9，即可得xy的最大值，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，因为（x+1）（x-3）-（x+2）（x-4）=（x²-2x-3）-（x²-2x-8）=5＞0，
故（x+1）（x-3）＞（x+2）（x-4）；
（Ⅱ）设矩形菜园的长为xm，宽为ym．
则2（x+y）=36，即x+y=18，矩形菜园的面积为xym²．
由$\sqrt{xy}$≤$\frac{x+y}{2}$=$\frac{18}{2}$=9，可得xy≤81；
当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立．
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m²

点评 本题考查基本不等式的应用，关键是分析题意，寻求x与y之间的关系．