Question

4．已知函数$f（x）={2016^x}+{log_{2016}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）-{2016^{-x}}$，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． $（-∞，-\frac{1}{4}）$
• D． $（-\frac{1}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 根据题意，分析可得函数f（x）既是奇函数又是增函数，则原不等式f（3x+1）+f（x）＞0可以转化为3x+1＞-x，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：对于函数$f（x）={2016^x}+{log_{2016}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）-{2016^{-x}}$，其定义域为R，
且$f（-x）={2016^（-x）}+{log_{2016}}（\sqrt{{x^2}+1}-x）-{2016^{-（-x）}}$=-f（x），为奇函数，
分析易得函数$f（x）={2016^x}+{log_{2016}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）-{2016^{-x}}$在R上为增函数，
则f（3x+1）+f（x）＞0?f（3x+1）＞-f（x）?f（3x+1）＞f（-x）?3x+1＞-x，
解可得x＞-$\frac{1}{4}$，即其解集为（-$\frac{1}{4}$，+∞）；
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，此类题目一般要利用函数的奇偶性、单调性，将原不等式转化为关于x的简单不等式．