Question

15．数列{a_n}满足（-1）ⁿa_n-a_n-1=2n，n≥2，则{a_n}的前100项和为（　　）

• A． -4750
• B． 4850
• C． -5000
• D． 4750

Answer 1

分析 讨论当n=2k（k∈N^*）时，a_2k-a_2k-1=4k，①当n=2k-1（k∈N^*，k＞1）时，-a_2k-1-a_2k-2=4k-2，②
①-②可得a_2k+2+a_2k=2；当n=2k+1（k∈N^*，k＞1）时，-a_2k+1-a_2k=4k+2③，①+③可得-a_2k-1-a_2k+1=8k+2．即a_2k-1+a_2k+1=-8k-2．通过分组利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足（-1）ⁿa_n-a_n-1=2n，n≥2，
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k-a_2k-1=4k，①
当n=2k-1（k∈N^*，k＞1）时，-a_2k-1-a_2k-2=4k-2，②
①-②可得a_2k+2+a_2k=2；
当n=2k+1（k∈N^*，k＞1）时，-a_2k+1-a_2k=4k+2，③
①+③可得-a_2k-1-a_2k+1=8k+2．即a_2k-1+a_2k+1=-8k-2．
则{a_n}的前100项和为（a₁+a₃）+（a₅+a₇）+…+（a₉₇+a₉₉）+（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a₉₈+a₁₀₀）
=（-10-26-…-394）+（2+2+…+2）=-$\frac{1}{2}$×25×（10+394）+2×25=-5050+50=-5000．
故选：C．

点评 本题考查了数列的递推关系、分组求和方法、等差数列的求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．