Question

3．设向量$\overrightarrow a=（{sinx，sinx}），\overrightarrow b=（{\sqrt{3}cosx，sinx}）$，
（Ⅰ）设函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，锐角A满足$f（A）=\frac{3}{2}$，$b+c=4，a=\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）进行数量积的坐标运算，并化简即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，从而得到$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，解不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可得出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）根据f（A）=$\frac{3}{2}$即可求出A=$\frac{π}{3}$，由b+c=4及a=$\sqrt{7}$，以及余弦定理便可求出bc的值，从而得出△ABC的面积的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\sqrt{3}sinxcosx+si{n}^{2}x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$；
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得增区间为：$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（k∈Z）$；
（Ⅱ）由$f（A）=\frac{3}{2}$，得$A=\frac{π}{3}$； 
又因为$b+c=4，a=\sqrt{7}$，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA；
即7=b²+c²-bc；
即7=（b+c）²-3bc；
∴7=16-3bc；
∴bc=3；
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，余弦定理，以及三角形的面积公式．