Question

13．直线2ax+2y-a-1=0与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-x+y-2≤0}\\{x+y-4≤0}\\{x-2y+2≤0}\end{array}\right.$表示的区域没有公共点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{5}$）
• B． （$\frac{1}{5}$，1）
• C． （-∞，-1）∪（-$\frac{1}{5}$，+∞）
• D． （-∞，-5）∪（-1，+∞）

Answer 1

分析 求出直线过定点D，作出不等式组对应的平面区域，利用直线和平面区域公共点的个数问题建立直线斜率关系进行求解即可．

解答 解：直线2ax+2y-a-1=0等价为a（2x-1）+2y-1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=0}\\{2y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即直线过定点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
直线2ax+2y-a-1=0的斜率k=-a，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{-x+y-2=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$，则B（-2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，则C（2，2），
当直线经过点C时直线CD的斜率k=$\frac{2-\frac{1}{2}}{2-\frac{1}{2}}$=1，
当直线经过点B时直线BD的斜率k=$\frac{0-\frac{1}{2}}{-2-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{5}$，
要使直线与平面区域没有交点，则$\frac{1}{5}$＜k＜1，
即$\frac{1}{5}$＜-a＜1，则-1＜a＜-$\frac{1}{5}$，
即实数a的取值范围是（-1，-$\frac{1}{5}$），
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及求出直线过定点是解决本题的关键．