Question

1．已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{{4{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}$=1，（m＞0），如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，0），B（0，1），C（2，1）．
（Ⅰ） 求椭圆C的离心率；
（Ⅱ） 若椭圆C与△ABC无公共点，求m的取值范围；
（Ⅲ） 若椭圆C与△ABC相交于不同的两个点分别为M，N．若△OMN的面积为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$（O为坐标原点），求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆焦点在x轴上，则a²=4m²，b²=m²，根据离心率公式即可求得椭圆C的离心率；
（Ⅱ） 当椭圆C在直线AB的左下方时，设直线l方程，代入椭圆方程，由△＜0，即可求得m的取值范围，当△ABC在椭圆内时，当且仅当点C（2，1）在椭圆内，将C代入椭圆方程，即可求得m的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜m＜\sqrt{2}$时，当$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜m≤1$时，求得丨MN丨，根据三角形的面积公式，即可求得m的值，当$1＜m＜\sqrt{2}$时，求得M和N的坐标，S=S_矩形OACB-S_△OBM-S_△OAN-S_△MNC=2-m²，则${m^2}=2-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，即可求得椭圆的方程/

解答 解 （Ⅰ） 由已知可得，a²=4m²，b²=m²，
椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}}=\sqrt{\frac{{3{m^2}}}{{4{m^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；--------------------（5分）
（Ⅱ） 由图可知当椭圆C在直线AB的左下方或△ABC在椭圆内时，两者便无公共点（5分）
①当椭圆C在直线AB的左下方时，
将AB：x+2y-2=0即x=2-2y代入方程$\frac{x^2}{{4{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}=1$，
整理得8y²-8y+4-4m²=0，
由△＜0，即64-32（4-4m²）=0＜0，解得$0＜m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴由椭圆的几何性质可知当$0＜m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，椭圆C在直线AB的左下方，
②当△ABC在椭圆内时，当且仅当点C（2，1）在椭圆内，
∴可得$\frac{4}{{4{m^2}}}+\frac{1}{m^2}＜1$，
又因为m＞0，∴$m＞\sqrt{2}$，
综上所述，当$0＜m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$m＞\sqrt{2}$时，椭圆C与△ABC无公共点-；-------------------（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知当$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜m＜\sqrt{2}$时，椭圆C与△ABC相交于不同的两个点M﹑N，
∴①当$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜m≤1$时，M﹑N在线段AB上，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$|MN|=\sqrt{5}\sqrt{2{m^2}-1}$．△OMN的面积$s=\sqrt{2{m^2}-1}$，得${m^2}=\frac{9}{16}$，
此时椭圆C的方程为$\frac{{4{x^2}}}{9}+\frac{{16{y^2}}}{9}=1$；
②当$1＜m＜\sqrt{2}$时，点M﹑N分别在线段BC，AC上，易得$M（2\sqrt{{m^2}-1}，1）$，$N（2，\sqrt{{m^2}-1}）$，
∴S=S_矩形OACB-S_△OBM-S_△OAN-S_△MNC=2-$\sqrt{{m}^{2}-1}$-$\sqrt{{m}^{2}-1}$-$\frac{1}{2}$（2-2$\sqrt{{m}^{2}-1}$）（1-$\sqrt{{m}^{2}-1}$），
=2-2$\sqrt{{m}^{2}-1}$-（1-$\sqrt{{m}^{2}-1}$）²=2-m²，
得${m^2}=2-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，此时椭圆C的方程为$\frac{x^2}{{8-\sqrt{2}}}+\frac{{4{y^2}}}{{8-\sqrt{2}}}=1$，
综上，椭圆C的方程为$\frac{{4{x^2}}}{9}+\frac{{16{y^2}}}{9}=1$或$\frac{x^2}{{8-\sqrt{2}}}+\frac{{4{y^2}}}{{8-\sqrt{2}}}=1$．--------------------（15分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．