Question

10．已知sinα是方程5x²-7x-6=0的根，求：
（1）$\frac{cos（2π-α）cos（π+α）ta{n}^{2}（2π-α）}{cos（\frac{π}{2}+α）sin（2π-α）co{t}^{2}（π-α）}$的值．
（2）在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC=2，AB=3，求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）由sinα是方程5x²-7x-6=0的根，解得sinα=-$\frac{3}{5}$，再求出$ta{n}^{2}α=\frac{9}{16}$，利用三角函数的诱导公式即可得出$\frac{cos（2π-α）cos（π+α）ta{n}^{2}（2π-α）}{cos（\frac{π}{2}+α）sin（2π-α）co{t}^{2}（π-α）}$的值．
（2）由sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，①求出2sinAcosA=-$\frac{1}{2}$，再由角的范围求出sinA-cosA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．②，联立①②即可解得sinA，cosA的值，则tanA的值可求．

解答 解：（1）由sinα是方程5x²-7x-6=0的根，解得sinα=-$\frac{3}{5}$，或sinα=2（舍去），
∴$ta{n}^{2}α=\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}=\frac{（-\frac{3}{5}）^{2}}{1-（-\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{9}{16}$．
$\frac{cos（2π-α）cos（π+α）ta{n}^{2}（2π-α）}{cos（\frac{π}{2}+α）sin（2π-α）co{t}^{2}（π-α）}$=$\frac{cosα（-cosα）（-tanα）^{2}}{（-sinα）（-sinα）（-cotα）^{2}}$
=$-\frac{co{s}^{2}αta{n}^{2}α}{si{n}^{2}αco{t}^{2}α}$=-tan²α=$-\frac{9}{16}$．
（2）∵sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，①
∴（sinA+cosA）²=$\frac{1}{2}$，即1+2sinAcosA=$\frac{1}{2}$，
∴2sinAcosA=-$\frac{1}{2}$．
∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0．sinA-cosA＞0．
∵（sinA-cosA）²=1-2sinAcosA=$\frac{3}{2}$，
∴sinA-cosA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．②
①+②，得sinA=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．①-②，得cosA=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$．
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$×$\frac{4}{\sqrt{2}-\sqrt{6}}$=-2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解法、三角函数求值、三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．