Question

2．已知a，b，c均为正数．
（1）若a+b=1，求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值；
（2）若a+b+c=m，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$≥m．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式即可求出最小值，
（2）因为a、b、c为正实数，且a+b+c=m，方法一，根据柯西不等式即可证明，
方法二，根据均值不等式即可证明．

解答 解：（1）$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）=1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=5+4=9．
当且仅当b=2a=$\frac{2}{3}$时，等号成立，
即当且仅当a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$有最小值9；
（2）证法一：
证明：因为a、b、c为正实数，且a+b+c=m，
由柯西不等式得（b+c+a）（$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$）≥（a+b+c）²，
化简可得$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c．
即$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥m，当且仅当a=b=c=$\frac{m}{3}$时取等号．                  
证法二：
证明：因为a、b、c为正实数，且a+b+c=m，
所以$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$+（b+c+a）=（$\frac{{a}^{2}}{b}$+b）+（$\frac{{b}^{2}}{c}$+c）+（$\frac{{c}^{2}}{a}$+a）≥2$\sqrt{{a}^{2}}$+2$\sqrt{{b}^{2}}$+2$\sqrt{{c}^{2}}$=2（a+b+c），
所以$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c=m
当且仅当a+b+c=m时取等号．

点评 本题考查了均值不等式和柯西不等式的应用，属于中档题