Question

17．函数$f（x）={x^2}+\sqrt{a}x-b+\frac{1}{4}$（a，b是正实数）只有一个零点，则ab的最大值为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 由题意可得a+4b=1，由基本不等式可得．

解答 解：∵函数f（x）=x²+$\sqrt{a}$x-b+$\frac{1}{4}$只有一个零点，
∴△=a-4（-b+$\frac{1}{4}$）=0，∴a+4b=1，
∴1=a+4b≥2$\sqrt{a•4b}$=4$\sqrt{ab}$，当且仅当a=4b=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴ab≤$\frac{1}{16}$，
∴ab的最大值为$\frac{1}{16}$，
故答案为：$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．