Question

12．已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），则称x₀是f（x） 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数是①③⑤．（写出所有正确的序号）
①f（x）=x²
②f（x）=e^-x
③f（x）=lnx
④f（x）=2+sinx
⑤f（x）=x+$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，使f（x）=f′（x），如果有解，则存在存在“巧值点”．

解答 解：①中的函数f（x）=x²，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x²=2x，
解得x=0或2，∴函数有巧值点，故①正确；
②若f（x）=e^-x；则f′（x）=-e^-x，即e^-x=-e^-x，此方程无解，②不符合要求；
③中的函数，f （x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，要使f（x）=f′（x），则lnx=$\frac{1}{x}$，
由函数f（x）=lnx与y=$\frac{1}{x}$的图象它们有交点，因此方程有解，∴函数有巧值点，故③正确；
④若f（x）=2+sinx，则f′（x）=-cosx，
若f（x）=f′（x），则2+sinx=-cosx，
即sinx+cosx=-2，
∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，则sinx+cosx=-2无解，故④不满足条件．
⑤中的函数，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，${f}^{'}（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$，要使f（x）=f′（x），
则x+$\frac{1}{x}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，即x³-x²+x+1=0，
设函数g（x）=x³-x²+x+1，g'（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
∴函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有巧值点，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．

点评 本题考查函数是否存在“巧值点”的判断，根据导数的公式建立方程关系是解决本题的关键．解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．