Question

4．直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直，a，b∈R则|ab|的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由直线与直线互相垂直的性质得a²+1-a²b=0，从而|b|=|$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$|，进而|ab|=|a•$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$|=|a+$\frac{1}{a}$|，由此能求出|ab|的最小值．

解答 解：∵直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直，a，b∈R，
∴a²+1-a²b=0
∴|b|=|$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$|，
∴|ab|=|a•$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}$|=|a+$\frac{1}{a}$|≥2
∴|ab|的最小值是2．
故选：B．

点评 本题考查两实数值乘积的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直、基本不等式的性质的合理运用．