Question

9．已知函数$f（x）=2\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）+sin2x$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）推导出f（x）=$2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，由此能求出函数的单调递增区间．
（2）求出$g（x）=f（{x+\frac{π}{6}}）=2sin[{2（{x+\frac{π}{6}}）+\frac{π}{3}}]=2sin（{2x+\frac{2π}{3}}）$，由此能求出函数g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{2}}）+sin2x=\sqrt{3}cos2x+sin2x$=$2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
解得$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ$，
所以函数的单调递增区间$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]，k∈Z$．
（2）∵将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，
∴$g（x）=f（{x+\frac{π}{6}}）=2sin[{2（{x+\frac{π}{6}}）+\frac{π}{3}}]=2sin（{2x+\frac{2π}{3}}）$，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x+\frac{2π}{3}∈[{\frac{2π}{3}，\frac{5π}{3}}]$，
∴当$2x+\frac{2π}{3}=\frac{2π}{3}$时，$sin（{2x+\frac{2π}{3}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，g（x）取最大值$\sqrt{3}$
当$2x+\frac{2π}{3}=\frac{3π}{2}$时，$sin（{2x+\frac{2π}{3}}）=-1$，g（x）取最小值-2．

点评 本题考查三角函数的增区间的求法，考查三角函数的最大值和最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．