Question

11．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$），其右焦点F₂的坐标为（4，0）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知点B₁（-2，0），B₂（2，0），过B₁的直线l交椭圆C于P、Q两点，交圆O：x²+y²=8于M、N两点，设|MN|=t，若t∈[4，2$\sqrt{7}$]，求△B₂PQ的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求得左焦点坐标，利用椭圆的定义及两点之间的距离公式，即可求得a的值，则b²=a²-c²，即可求得椭圆C的方程；
（II）当直线斜率存在，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，利用两点之间的距离公式及二次函数的性质，即可求得△B₂PQ的面积S的取值范围．

解答 解：（I）由椭圆的左焦点F₁（-4，0），则c=4，
由2a=丨AF₁丨+丨AF₂丨，
即2a=$\sqrt{（-4-\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$+$\sqrt{（4-\sqrt{5）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$，
=4$\sqrt{5}$，则a=2$\sqrt{5}$，b²=a²-c²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（II）当直线l的斜率不存在时，丨MN丨=4，△B₂PQ的面积S，S=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
直线l的斜率存在时，设直线l的方程y=k（x+2），则圆心到直线l的距离d=$\frac{丨2k丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
t=丨MN丨=2$\sqrt{8-{d}^{2}}$=2$\sqrt{8-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$∈[4，2$\sqrt{7}$]，解得k²≥$\frac{1}{3}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（5k²+1）y²-4ky-16k²=0．
则y₁+y₂=$\frac{4k}{1+5{k}^{3}}$，y₁y₂=-$\frac{16{k}^{2}}{1+5{k}^{3}}$，
则丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+{k}^{2}}{（1+5{k}^{2}）^{2}}}$，
则△B₂PQ的面积S，S=$\frac{1}{2}$×4×丨y₁-y₂丨=8$\sqrt{5}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+{k}^{2}}{（1+5{k}^{2}）^{2}}}$，
设t=1+5k²，t≥$\frac{8}{3}$，
∴S=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$$\sqrt{-（\frac{1}{t}+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}}$，
∴S∈[$\sqrt{35}$，$\frac{16\sqrt{5}}{5}$]，
∴△B₂PQ的面积S的取值范围[$\sqrt{35}$，$\frac{16\sqrt{5}}{5}$]．

点评 本题椭圆的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及二次函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．