Question

3．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左焦点的直线交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=6，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是（　　）

• A． （0，2]
• B． （0，2）
• C． （0，$\sqrt{6}$]
• D． （0，$\sqrt{6}$）

Answer 1

分析 由双曲线的通径与弦长丨AB丨的关系，即可求得b的取值范围．

解答 解：由题意过双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=6，
A，B位于双曲线的左支，即当直线的斜率不存在时，丨AB丨最短，
这样的直线有且仅有两条，则$\frac{{2b}^{2}}{a}$=b²＜|AB|=6，
解得0＜b＜$\sqrt{6}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的弦长与通径的关系，通径公式，属于基础题，