Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，离心率为e．椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且CF₁⊥x轴．
（1）若OC∥AB，求e的值；
（2）连结CF₂并延长交椭圆于另一点D若$\frac{1}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$\frac{|C{F}_{2}|}{|{F}_{2}D|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由CF₁⊥x轴．则C（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），根据直线的斜率相等，即可求得b=c，利用离心率公式即可求得e的值；
（2）根据向量的坐标运算，求得D点坐标，代入椭圆方程，求得e²=$\frac{{λ}^{2}-1}{（{λ}^{2}+4λ+3）}$=1-$\frac{4}{λ+3}$，由离心率的取值范围，即可求得λ的取值范围．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2c，
由CF₁⊥x轴．则C（-c，y₀），y₀＞0，
由C在椭圆上，则y₀=$\frac{{b}^{2}}{a}$，则C（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由OC∥AB，则-$\frac{{b}^{2}}{ac}$=k_OC=k_AB=-$\frac{b}{a}$，则b=c，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
e的值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）设D（x₁，y₁），设$\overrightarrow{C{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}D}$，
C（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），F₂（c，0），
故$\overrightarrow{C{F}_{2}}$=（2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），$\overrightarrow{{F}_{2}D}$=（x₁-c，y₁），
由$\overrightarrow{C{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}D}$，则2c=λ（x₁-c），-$\frac{{b}^{2}}{a}$=λy₁，则D（$\frac{λ+2}{λ}$c，-$\frac{{b}^{2}}{λa}$），
由点D在椭圆上，则（$\frac{λ+2}{λ}$）2e²+$\frac{{b}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$=1，整理得：（λ²+4λ+3）e²=λ²-1，
由λ＞0，e²=$\frac{{λ}^{2}-1}{（{λ}^{2}+4λ+3）}$=$\frac{λ-1}{λ+3}$=1-$\frac{4}{λ+3}$，
由$\frac{1}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{1}{4}$≤e²≤$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{4}$≤1-$\frac{4}{λ+3}$≤$\frac{1}{2}$，
解得：$\frac{7}{3}$≤λ≤5，
∴$\frac{|C{F}_{2}|}{|{F}_{2}D|}$的取值范围[$\frac{7}{3}$，5]．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率公式，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．