Question

9．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+a_n=2n+1，
（1）写出a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用S_n+a_n=2n+1，代入计算，可得结论，猜想a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
（2）用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）由S_n+a_n=2n+1得a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{7}{4}$，a₃=$\frac{15}{8}$，
故猜想a_n=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
（2）证明①当n=1时a₁=$\frac{3}{2}$，结论成立，
②假设当n=k时结论成立，即a_k=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$，
则当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）+1-a_k+1-（2k+1-a（2k+1-a_k））
∴2a_k+1=a_k+2=4-$\frac{1}{{2}^{k}}$，∴a_k+1=2-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，即当n=k+1时结论成立．
由①②知对于任何正整数n，结论成立．

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法