Question

19．已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，若$f（{\frac{9π}{4}}）=13-9\sqrt{2}$．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的最小正周期（不需证明最小性）；
（3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间$[{0\;，\;\;\frac{nπ}{2}}）$内恰有2015个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）计算x=$\frac{9π}{4}$时f（x）的值，从而解得a的值；
（2）根据f（x+π）=f（x），求得f（x）的最小正周期为π；
（3）讨论f（x）在一个周期内的函数性质，即x∈[0，$\frac{π}{2}$]和x∈（$\frac{π}{2}$，π）时，f（x）零点的情况，
从而得出存在n=1007，使得f（x）=0在区间[0，$\frac{nπ}{2}$）内恰有2015个根．

解答 解：（1）函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，
令x=$\frac{9π}{4}$，得$\sqrt{2}$a+4+9=13-9$\sqrt{2}$，解得a=-9；
（2）f（x+π）=-9[|sin（x+π）|+|cos（x+π）|]+4sin2（x+π）+9
=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9=f（x）
所以，f（x）的最小正周期为π．
（3）存在n=1007满足题意；  当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，
f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9；
设t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），t∈[1，$\sqrt{2}$]，
则sin2x=2sinxcosx=t²-1，
于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t²-9t+5，
令4t²-9t+5=0，得t=1或t=$\frac{5}{4}$∈[1，$\sqrt{2}$]，
于是x=0，$\frac{π}{2}$，或x=x₀（0＜x₀＜$\frac{π}{4}$）或x=$\frac{π}{2}$-x₀，
其中sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
当x∈（$\frac{π}{2}$，π）时，f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9．
设t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），t∈（1，$\sqrt{2}$]，
则sin2x=2sinxcosx=1-t²，
于是f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9=-4t²-9t+13，
令-4t²-9t+13=0，解得t=1或t=-$\frac{13}{4}$∉（1，$\sqrt{2}$]，
故f（x）在x∈（$\frac{π}{2}$，π）没有实根．
综上讨论可得，f（x）=0在[0，π）上有4根，
而2015=4×503+3，在[0，503π]有2013个根，在[0，504π]上有2017个根，
故存在n=1007，使得f（x）=0在区间[0，$\frac{nπ}{2}$）内恰有2015个根．

点评 本题主要考查了函数的零点与方程根的联系，任意角的三角函数，正弦、余弦函数的图象与性质的应用问题，是综合题．