Question

11．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c为常数），满足f（0）=1，f（1）=6，对于一切x∈R恒有f（-2+x）=f（-2-x）成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[a-1，2a+1]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴，根据f（0）=1，f（1）=6，得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即可；
（2）根据函数的对称轴，结合函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）对于一切x∈R恒有f（-2+x）=f（-2-x）成立，
故f（x）的对称轴是x=-2，即-$\frac{b}{2a}$=-2，
函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c为常数），
满足f（0）=1，f（1）=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-2}\\{f（0）=c=1}\\{f（1）=a+b+c=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=-\frac{4}{5}}\\{c=1}\end{array}\right.$；
故f（x）=-$\frac{1}{5}$x²-$\frac{4}{5}$x+1；
（2）由（1）得：f（x）的对称轴是：x=-2，
若f（x）在区间[a-1，2a+1]上不单调，
得，a-1＜-2＜2a+1，
解得：-$\frac{3}{2}$＜a＜-1．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．