Question

2．解答题：$x\;，\;\;y∈[{-\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{4}}]$，a∈R，且$\left\{\begin{array}{l}{x^5}+sinx-4a=0\\ 8{y^5}+\frac{1}{4}sin2y+a=0\end{array}\right.$，求$cos（{x+2y+\frac{π}{4}}）$的值．

Answer 1

分析 设f（u）=u⁵+sinu．根据题设等式可知f（x）=4a，f（2y）=-4a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=-f（2y）=f（-2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：设f（u）=u⁵+sinu．∵$\left\{\begin{array}{l}{x^5}+sinx-4a=0\\ 8{y^5}+\frac{1}{4}sin2y+a=0\end{array}\right.$，
由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=-2a．
因为f（u）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是单调增函数，并且是奇函数，
∴f（x）=-f（2y）=f（-2y）．
∴x=-2y，即x+2y=0．
∴cos（x+2y+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了利用函数思想解决实际问题．考查了学生运用函数的思想，转化和化归的思想．属于中档题