Question

14．已知定义在R上的函数f（x）满足$f（x）=\left\{\begin{array}{l}cosx\;，\;\;sinx≤cosx\\ sinx\;，\;\;sinx＞cosx\end{array}\right.$，给出以下结论：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的最小值为-1；
③当且仅当x=2kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值；
④当且仅当$2kπ-\frac{π}{2}＜x＜（{2k+1}）π$，k∈Z时，f（x）＞0；
⑤f（x）的图象上相邻两个最低点的距离是2π，
其中正确的结论序号是①④⑤．

Answer 1

分析 f（x）的含义是取y=sinx和y=cosx的较大者，所以先在同一坐标系内画出y=sinx和y=cosx的图象，然后取上方的部分，就得到f（x）的图象．画出图象来之后，就很容易的找出单调区间，最大最小值，同时也容易得出周期来．

解答 解：作出函数f（x）的图象，实线即为f（x）的图象．
由图象可知，f（x）为周期函数，T=2π，所以①正确．
函数f（x）的最大值为1，最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以②错误．
当且仅当x=2kπ+$\frac{5}{4}π$，k∈Z时，f（x）取得最小值，所以③错误；
④当且仅当$2kπ-\frac{π}{2}＜x＜（{2k+1}）π$，k∈Z时，f（x）＞0，正确；
⑤f（x）的图象上相邻两个最低点的距离是2π，正确，
故答案为：①④⑤．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，作出函数的图象，利用数形结合的思想去研究，是解决本题的关键．