Question

4．设函数f（x）=|x+2|+|x-a|（a∈R）
（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知a²+b²+c²=1（a，b，c∈R），求证a+b+c≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a求实数a的取值范围；
（2）利用柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²）=3，即可证明结论．

解答 解：（1）当a≥0时，f（x）+a≥0恒成立，
当a＜0时，要保证f（x）≥-a恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a，解得a≥-1，∴0＞a≥-1
综上所述，a≥-1．（5分）
（2）由柯西不等式得，（a+b+c）²≤（1²+1²+1²）（a²+b²+c²）=3
所以-$\sqrt{3}$≤a+b+c≤$\sqrt{3}$
所以：a+b+c≤$\sqrt{3}$．（10分）

点评 本小题主要考查不等式的相关知识，考查柯西不等式，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．