Question

19．倾斜角$\frac{π}{4}$的直线l过抛物线y²=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）求直线l的方程．
（2）求线段AB长．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式求出直线方程即可．
（2）联立直线方程与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．

解答 解：（1）根据抛物线y²=4x方程得：焦点坐标F（1，0），
直线AB的斜率为k=tan45°=1，
由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x-1，
（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x-1）²=4x，
整理得：x²-6x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由一元二次方程根与系数的关系得：x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，所以弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-4}$=8．

点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于中档题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．