Question

9．8月27日我校组织了高一学生拉练活动，步行路线如图：A→B→C→D→E→F→A（A是学校，BCDF为矩形，AB=BF=2km，BC=4km），步行匀速前进，速度4km/h，拉练过程中在DF的中点E处休息了半小时，从学校A点出发开始计时，经过t小时到达P点，P到A的直线距离为|PA|，设y=|PA|²．
（1）写出y关于t的函数的定义域、值域．
（2）写出y关于t的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）由题意，$\frac{18}{4}$=$\frac{9}{2}$，|AD|=4$\sqrt{2}$，即可写出y关于t的函数的定义域、值域．
（2）分类讨论，即可写出y关于t的函数表达式．

解答 解：（1）由题意，$\frac{18}{4}$=$\frac{9}{2}$，∴函数的定义域为[0，$\frac{9}{2}$]，|AD|=4$\sqrt{2}$，∴值域为[0，32]．
（2）当0≤t≤$\frac{1}{2}$时，y=16t²，
当$\frac{1}{2}＜t≤\frac{3}{2}$时，y=4+$[4（t-\frac{1}{2}）]^{2}$=16（t-$\frac{1}{2}$）²+4，
当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，y=16+[2+4（t-$\frac{3}{2}$）]²=16（t-1）²+16
当2＜t≤$\frac{5}{2}$时，y=16+[4-4（t-2）]²=16（t-3）²+16，
当$\frac{5}{2}$＜t≤3时，y=16+4=20，
当3＜t≤$\frac{7}{2}$时，y=16+[2-4（t-3）]²=16（t-$\frac{7}{2}$）²+16，
当$\frac{7}{2}$＜t≤$\frac{9}{2}$时，y=[4-4（t-$\frac{7}{2}$）]²=16（t-$\frac{9}{2}$）²．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于中档题．