Question

18．设函数f（x）=lg（|3x+2|+|1-2x|+a）．
（1）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的值域为R，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入f（x），通过讨论x的范围，求出函数的定义域即可；
（2）问题转化为a＞-（|3x+2|+|1-2x|），令g（x）=|3x+2|+|1-2x|，通过讨论x的范围求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-5时，f（x）=lg（|3x+2|+|1-2x|-5），
由|3x+2|+|1-2x|-5＞0，
得，x≥$\frac{1}{2}$时，3x+2+2x-1-5＞0，解得：x＞$\frac{4}{5}$，
-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$时，3x+2+1-2x-5＞0，解得：x＞2，（舍），
x≤-$\frac{2}{3}$时，-3x-2+1-2x-5＞0，解得：x＜-$\frac{6}{5}$，
综上，函数f（x）的定义域是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪（$\frac{4}{5}$，+∞）；
（2）若函数f（x）的值域为R，
只需|3x+2|+|1-2x|+a＞0，
即a＞-（|3x+2|+|1-2x|），
令g（x）=|3x+2|+|1-2x|，
x≥$\frac{1}{2}$时，g（x）=3x+2+2x-1=5x+1≥$\frac{7}{2}$，
-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$时，g（x）=3x+2+1-2x=x+3∈（$\frac{7}{3}$，$\frac{7}{2}$），
x≤-$\frac{2}{3}$时，g（x）=-3x-2+1-2x=-5x-1≥$\frac{7}{3}$，
故a≤-$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及对数函数的性质，是一道中档题．