Question

4．在△ABC中，AB=2，∠A=60°，点D满足$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{DB}$，且AD=$\frac{\sqrt{37}}{3}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3．

Answer 1

分析 根据向量的加减的几何意义以及，向量的模的计算，设AC=x，构造方程，求出x，再根据向量的数量积公式计算即可．

解答 解：$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∵AD=$\frac{\sqrt{37}}{3}$，设AC=x，
∴$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{9}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{37}{9}$，
∴$\frac{16}{9}$+$\frac{4}{9}$×2xcos60°+$\frac{{x}^{\;}}{9}$=$\frac{37}{9}$，
∴x²+4x-21=0，
解得x=3，x=-7（舍去），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2×3×$\frac{1}{2}$=3，
故答案为：3

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量模的计算，属于中档题．