Question

12．数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{3}$，对任意n∈N^*，${a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，则$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$的整数部分是2．

Answer 1

分析 对任意n∈N^*，${a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$，可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，于是$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2017}}$=3-$\frac{1}{{a}_{2017}}$．由${a}_{1}=\frac{1}{3}$，a₂＜1，a₃＜1，a₄＞1，可得n≥4时，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1），即可得出．

解答 解：∵对任意n∈N^*，${a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$，可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$=-$（\frac{1}{{a}_{2017}}-\frac{1}{{a}_{2016}}）$-$（\frac{1}{{a}_{2016}}-\frac{1}{{a}_{2015}}）$-…-$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2017}}$=3-$\frac{1}{{a}_{2017}}$．
∵a₂=$（\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，a₃=$（\frac{4}{9}）^{2}+\frac{4}{9}$=$\frac{52}{81}$，a₄=$（\frac{52}{81}）^{2}+\frac{52}{81}$=$\frac{6916}{6561}$＞1，
∴n≥4时，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1），
∴3-$\frac{1}{{a}_{2017}}$∈（2，3）．
∴$\sum_{n=1}^{2016}{\frac{1}{{{a_n}+1}}}$的整数部分是2．
故答案为：2．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、整数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．