Question

11．已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）设函数g（x）=f（x）-b，若a=1，求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得g（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；
（2）先求出f（x）的导函数，然后求出导函数的根，讨论a的取值范围分别求出函数的单调增区间，使（0，2）是增区间的子集即可，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）函数g（x）=f（x）-b=-x³+x²，
导数为g′（x）=-3x²+2x，
函数g（x）在（1，g（1））处的切线斜率为-3+2=-1，
切点为（1，0），可得切线的方程为y=-（x-1），
即x+y-1=0；
（2）由题意，得f'（x）=-3x²+2ax，
令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{2}{3}$a，
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得$\frac{2a}{3}$＜x＜0，
所以f（x）在（$\frac{2a}{3}$，0）上是增函数，与题意不符，舍去；
当a=0时，由f'（x）=-3x²≤0，与题意不符，舍去；
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{2a}{3}$，
所以f（x）在（0，$\frac{2a}{3}$）上是增函数，
又f（x）在（0，2）上是增函数，
所以$\frac{2a}{3}$≥2，解得a≥3，
综上，a的取值范围为[3，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想和分类讨论的综合运用，属于中档题．