Question

1．设曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y={t^2}\end{array}\right.$（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线${C_2}：ρsin（θ-\frac{π}{3}）=1$
（1）求曲线C₁的极坐标方程；
（2）若曲线C₁与曲线C₂相交于A、B，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程消去参数t得曲线C₁的直角坐标方程，由此能出曲线C₁的极坐标方程．
（2）由ρsinθ=y，ρcosθ=x，求出曲线${C_2}：y-\sqrt{3}x-2=0$，由$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}\\ y-\sqrt{3}x-2=0\end{array}\right.⇒{x^2}-\sqrt{3}x-2=0$，由此利用弦长公式能求出|AB|．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y={t^2}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t得曲线C₁的直角坐标方程为${C_1}：y={x^2}$，
∴曲线C₁的极坐标方程为ρsinθ=ρ²cos²θ，即sinθ=ρcos²θ．
（2）∵曲线${C_2}：ρsin（θ-\frac{π}{3}）=1$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{3}-cosθsin\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=1，
由ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲线${C_2}：y-\sqrt{3}x-2=0$，
由$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}\\ y-\sqrt{3}x-2=0\end{array}\right.⇒{x^2}-\sqrt{3}x-2=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\sqrt{3}$，x₁x₂=-2，k=$\sqrt{3}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+3）（3+8）}$=2$\sqrt{11}$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．