Question

9．已知函数f（x）=|x-a|（a＞0）．
（Ⅰ）求证：f（m）+f（n）＞|m-n|；
（Ⅱ）解不等式f（x）+f（-x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据|a+b|≤|a|+|b|，可得|m-a|+|a-n|≥|m-a+a-n|=|m-n|，即可证明：f（m）+f（n）＞|m-n|；
（Ⅱ）分类讨论，去掉绝对值符号，即可解不等式f（x）+f（-x）＞2．

解答 （Ⅰ）证明：f（m）+f（n）=|m-a|+|n-a|=|m-a|+|a-n|，
根据|a+b|≤|a|+|b|，∴|m-a|+|a-n|≥|m-a+a-n|=|m-n|
即f（m）+f（n）≥|m-n|；        …（5分）
（Ⅱ）解：由f（x）+f（-x）＞2，即|x-a|+|x+a|≥2，
（ⅰ）若0＜a≤1时，
当-a≤x≤a时，不等式即a-x+x+a＞2，即a＞1，原不等式不成立
当x＞a时，原不等式即x-a+x+a＞2，x＞1
当x＜-a时，原不等式即a-x-x-a＞2，解得x＜-1
∴0＜a≤1时，原不等式解集为（-∞，-1）U（1，+∞）；
（ⅱ）若a＞1
当-a≤x≤a时，不等式即a-x+x+a＞2，2a＞2恒成立，原不等式，解得-a≤x≤a
当x＞a时，原不等式即x-a+x+a＞2，x＞1与x＞a取交集得x＞a
当x＜-a时，原不等式即a-x-x-a＞2，解得x＜-1与x＜-a取交集得x＜-a
∴a＞1时，原不等式解集．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分析讨论，去掉绝对值符号，利用一次函数的单调性求最值是关键，考查运算与推理证明的能力，属于中档题．