Question

6．已知椭圆C：mx²+3my²=1（m＞0）的长轴长为$2\sqrt{6}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程和离心率．
（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧．若BA=BP，求四边形OPAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）将椭圆方程化为标准方程，由题意可得a，可得b，即可得到椭圆方程，再由离心率公式计算即可得到所求值；
（2）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB的面积为S=S_△OAP+S_△OMB，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（1）由题意知椭圆C：$\frac{x^2}{{\frac{1}{m}}}+\frac{y^2}{{\frac{1}{3m}}}=1$，
所以${a^2}=\frac{1}{m}$，${b^2}=\frac{1}{3m}$，
故$2a=2\sqrt{\frac{1}{m}}=2\sqrt{6}$，解得$m=\frac{1}{6}$，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
因为$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=2$，所以离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（2）设线段AP的中点为D．
因为BA=BP，所以BD⊥AP．
由题意知直线BD的斜率存在，
设点P的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），
则点D的坐标为$（\frac{{{x_0}+3}}{2}，\frac{y_0}{2}）$，直线AP的斜率${k_{AP}}=\frac{y_0}{{{x_0}-3}}$，
所以直线BD的斜率${k_{BD}}=-\frac{1}{{{k_{AP}}}}=\frac{{3-{x_0}}}{y_0}$，
故直线BD的方程为$y-\frac{y_0}{2}=\frac{{3-{x_0}}}{y_0}（x-\frac{{{x_0}+3}}{2}）$．
令x=0，得$y=\frac{x_0^2+y_0^2-9}{{2{y_0}}}$，故$B（0，\frac{x_0^2+y_0^2-9}{{2{y_0}}}）$．
由$\frac{x_0^2}{6}+\frac{y_0^2}{2}=1$，得$x_0^2=6-3y_0^2$，化简得$B（0，\frac{-2y_0^2-3}{2y_0^2}）$．
因此，S_{四边形OPAB}=S_△OAP+S_△OAB=$\frac{1}{2}×3×|{y_0}|+\frac{1}{2}×3×|\frac{{-2{y_0}^2-3}}{{2{y_0}}}|$
=$\frac{3}{2}（|{y_0}|+|\frac{{-2{y_0}^2-3}}{{2{y_0}}}|）$=$\frac{3}{2}（2|{y_0}|+\frac{3}{{2|{y_0}|}}）$$≥\frac{3}{2}×2\sqrt{2|{y_0}|×\frac{3}{{2|{y_0}|}}}$=$3\sqrt{3}$．
当且仅当$2|{y_0}|=\frac{3}{{2|{y_0}|}}$时，即${y_0}=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$时等号成立．
故四边形OPAB面积的最小值为$3\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和离心率的求法，注意运用椭圆的性质和离心率公式，考查四边形面积的最值的求法，注意运用直线的斜率公式和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．