Question

10．已知函数f（x）=|x|-|x-1|．
（1）若关于x的不等式f（x）≥|m-1|的解集非空，求实数m的取值集合M．
（2）记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a²+b²=k，证明：a+b≥2ab．

Answer 1

分析 （1）求出函数的解析式，然后求解函数的最大值，通过|m-1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．
（2）利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．

解答 解：（1）由已知可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x＜0}\\{2x-1，0≤x≤1}\\{1，x＞1}\end{array}\right.$，
所以f_max（x）=1，…（3分）
所以只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，
所以实数m的最大值M=2…（5分）
（2）因为a＞0，b＞0，
所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）²≥4a²b²，
即证a²+b²+2ab≥4a²b²，
所以只要证2+2ab≥4a²b²，…（7分）
即证2（ab）²-ab-1≤0，
即证（2ab+1）（ab-1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，
下证ab≤1，
因为2=a²+b²≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab…（10分）

点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．