Question

17．设函数$f（x）=\frac{9}{8cos2x+16}-{sin^2}x$的最小值为m，且与m对应的x最小正值为n，则m+n=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先根据二倍角公式化简，再根据基本不等式即可求出答案．

解答 解：$f（x）=\frac{9}{8cos2x+16}-{sin^2}x$=$\frac{9}{8cos2x+16}$+$\frac{cos2x-1}{2}$
=$\frac{\frac{9}{8}}{cos2x+2}$+$\frac{cos2x+2}{2}$-$\frac{3}{2}$，
∵cos2x+2＞0，
∴f（x）≥2×$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{2}$=0，当且仅当$\frac{\frac{9}{8}}{cos2x+2}$=$\frac{cos2x+2}{2}$，
即cos2x=-$\frac{1}{2}$时等号成立，则x的最小正值为n=$\frac{π}{3}$，
∴m+n=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$

点评 本题考查了三角函数的化简和基本不等式的应用，属于中档题．