Question

2．f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（Ⅰ）f（-1）=0且任意x∈R，x≤f（x）≤$\frac{{{x^2}+1}}{2}$，求f（x）；
（Ⅱ）若|f（x）|＜1的解集（-1，3），求a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（1）的范围以及x≤ax²+bx+c恒成立，求出a，b，c的值，从而求出f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值以及f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（-1）=0，a-b+c=0，
又x=1，1≤f（1）≤1，
∴f（1）=1即a+b+c=1∴$b=\frac{1}{2}，\;\;a+c=\frac{1}{2}$
又∵x≤ax²+bx+c恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{（b-1）^2}-4ac≤0\end{array}\right.\;\;\;∴a=c=\frac{1}{4}\;\;\;∴f（x）=\frac{1}{4}{（x+1）^2}$…（4分）
（Ⅱ）①a＞0，ax²+bx+c＜1
解集（-1，3）且f（x）_min＞-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}-1+3=-\frac{b}{a}\\-1×3=\frac{c-1}{a}\end{array}\right.\;\;\;\;\;∴\left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ c=-3a+1\end{array}\right.$，
∴f（x）=ax²-2ax+1-3a，
∴f（x）_min=a-2a+1-3a＞-1，
∴$0＜a＜\frac{1}{2}$…（8分）
②若a＜0，则-ax²-bx-c＜1解集（-1，3）且f_max（x）＜1，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{a}=-1+3\\ \frac{c+1}{a}=-1×3\end{array}\right.\;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ c=-3a=1\end{array}\right.$，
∴f（x）=ax²-2ax-3a-1，
∴f（x）_max=a-2a-3a-1＜1，
∴$-\frac{1}{2}＜a＜0$
综上述$-\frac{1}{2}＜a＜0$或$0＜a＜\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．