Question

17．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为${P^'}（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）$；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；
③单位圆的“伴随曲线”是它自身；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用新定义，转化求解判断4个命题，是否满足新定义，推出结果即可．

解答 解：对于①，若令P（1，1），则其“伴随点”为$P'（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$，
而$P'（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$的“伴随点”为（-1，-1），而不是P，故①错误；
对于②，设曲线f（x，y）=0关于x轴对称，
则f（x，-y）=0与方程f（x，y）=0表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为
$f（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$与$f（\frac{-y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$也表示同一曲线，
又曲线$f（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$与曲线$f（\frac{-y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）=0$的图象关于y轴对称，所以②正确；
对于③，设单位圆上任一点的坐标为P（cosx，sinx），其“伴随点”为P'（sinx，-cosx）仍在单位圆上，故③正确；
对于④，直线y=kx+b上任一点P（x，y）的“伴随点”为${P^'}（\frac{y}{{{x^2}+{y^2}}}，\frac{-x}{{{x^2}+{y^2}}}）$，
∴P′的轨迹是圆，故④错误，
所以正确的为序号为②③．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．