Question

6．设f（x）是定义在R上的函数，且在[1，+∞）为增函数，对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果实数a，b满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}^{2}-6a+23）+f（{b}^{2}-8b）≤0}\\{f（b+1）＞f（5）}\end{array}\right.$，那么a²+b²的取值范围是（17，49]．

Answer 1

分析 根据条件f（1-x）+f（1+x）=0得到函数函数关于（1，0）对称，结合函数的对称性和单调性之间的关系转化为线性规划问题，进行求解即可．

解答 解：∵对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1+x）=-f（1-x），
则函数关于（1，0）对称，且-f（x）=f（2-x）
∵f（a²-6a+23）+f（b²-8b）≤0，
∴f（a²-6a+23）≤-f（b²-8b）=f（2-b²+8b），
∵f（x）在[1，+∞）为增函数，且函数关于（1，0）对称，
∴函数f（x）是定义在R上的增函数，
∴a²-6a+23≤2-b²+8b，
整理为（a-3）²+（b-4）²≤4，
由f（b+1）＞f（5）得b+1＞5，即b＞4，
∵（a-3）²+（b-4）²=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2，

∴（a-3）²+（b-4）²=4（b＞4）内的点到原点距离的取值范围为
（$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$，$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$+2]，即（$\sqrt{17}$，7]，
∵a²+b² 表示（a-3）²+（b-4）²=4内的点到原点距离的平方，
∴a²+b² 的取值范围是（17，49]．
故答案为：（17，49]．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围，利用条件判断函数的对称性以及利用数形结合是解决本题的关键．．