Question

16．已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，y=f（x）．
（1）求证：tan（α+β）=2tanα；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式化简条件可得4cos（α+β）sinα=2sin（α+β）cosα，从而证得要证得等式成立．
（2）由条件根据tanβ=tan[（α+β）-α]，利用两角差的正切公式，求得函数f（x）的解析式．
（3）利用条件可得0＜α＜$\frac{π}{3}$，tanα∈（0，$\sqrt{3}$），即x∈（0，$\sqrt{3}$），由此求得函数f（x）=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{1}{x}+2x}$，利用基本不等式以及函数的单调性，求得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）证明：∵sin（2α+β）=3sinβ，∴sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]，
展开可得sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，
4cos（α+β）sinα=2sin（α+β）cosα，∴tan（α+β）=2tanα．
（2）∵tanα=x，tanβ=y，y=f（x），
又tanβ=tan[（α+β）-α]=$\frac{tan（α+β）-tanα}{1+tan（α+β）tanα}$=$\frac{2tanα-tanα}{1+2tanα•tanα}$=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$，
即函数f（x）的解析式y=f（x）=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$．
（3）若角α是一个三角形的最小内角，则0＜α＜$\frac{π}{3}$，tanα∈（0，$\sqrt{3}$），即x∈（0，$\sqrt{3}$），
则函数f（x）=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{1}{x}+2x}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取等号．
函数f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递增，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$）上单调递减，
当x趋于零时，f（x））=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$ 趋于0，当x趋于$\sqrt{3}$时，f（x））=$\frac{x}{1+{2x}^{2}}$ 趋于$\frac{\sqrt{3}}{7}$，
故函数f（x）的值域为（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

点评 本题主要考查两角和差的正弦、正切公式的应用，求函数的解析式，基本不等式的应用，求函数的值域，属于中档题．