Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+mx，x＜0}\end{array}\right.$是奇函数，
（1）求实数m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象（不用列表），并根据图象写出该函数的单调区间；
（3）若函数y=f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数的解析式，先求出f（1），再由f（-1）=-f（1）得到f（-1）以及m的值；
（2）由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可得y=f（x）的图象，数形结合可写出单调区间；
（3）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，结合f（x）的图象知$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
所以，f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．
又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），
于是x＜0时，f（x）=x²+2x=x²+mx，所以m=2，
（2）如图所示，由图可得：
f（x）的单调递增区间（-1，1），
f（x）的单调递减区间（-∞，-1），（1，+∞）；
（3）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，
结合f（x）的图象知$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．

点评 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，作函数的图象，函数的单调性的应用，属于中档题．