Question

4．已知函数$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+sinxcosx$，
（1）若$f（a）=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，求a；
（2）如果关于x的方程|f（x）|=m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦图象，求α；
（2）如果关于x的方程|f（x）|=m，在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．

解答 解：（1）解：y=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx
=$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}sin2x$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$six（2x+\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$f（a）=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，解得2$α+\frac{π}{3}$=2k$π+\frac{π}{6}$或2$α+\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，
$α=kπ-\frac{π}{12}$或$α=kπ+\frac{π}{4}$ （k∈Z）．
（2）画出y=|f（x）|的图象，再画出y=m的图象，   
结合图象可知它们有两个不同的交点的情况；
可得m=0，1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜m＜$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数式的化简求值，二倍角公式、两角和的正弦函数公式的应用，考查函数与方程的思想，数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．