Question

19．已知函数f（x）=2x³-ax²+8．
（1）若f（x）＜0对?x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；
（2）是否存在整数a，使得函数g（x）=f（x）+4ax²-12a²x+3a³-8在区间（0，2）上存在极小值，若存在，求出所有整数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）问题转化为$a＞\frac{{2{x^3}+8}}{x^2}=2x+\frac{8}{x^2}$，设$h（x）=2x+\frac{8}{x^2}$，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出a的值即可．

解答 解：（1）由f（x）＜0得$a＞\frac{{2{x^3}+8}}{x^2}=2x+\frac{8}{x^2}$，
设$h（x）=2x+\frac{8}{x^2}$，则$h′（x）=2-\frac{16}{x^3}$，
∵x∈[，2]，∴h′（x）≤0，则h（x）在[1，2]上是减函数，
∴h（x）_max=h（1）=10，∵f（x）＜0对?x∈[1，2]恒成立，
即$a＞2x+\frac{8}{x^2}$对?x∈[1，2]恒成立，
∴a＞10，则实数a的取值范围为（10，+∞）．
（2）∵g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³，
∴g′（x）=6x²+6ax-12a²=6（x-a）（x+2a），
①当a=0时，g′（x）≥0，g（x）单调递增，无极值．
②当a＞0时，若x＜-2a，或x＞a，则g′（x）＞0；若-2a＜x＜a，则g′（x）＜0．
∴当x=a时，有极小值．∵g（x）在（0，2）上有极小值，
∴0＜a＜2，∴存在整数a=1．
③当a＜0时，若x＜a或x＞-2a，则g′（x）＞0；若a＜x＜-2a，则g′（x）＜0．
∴当x=-2a时，g（x）有极小值．∵g（x）在（0，2）上有极小值，
∴0＜-2a＜2，得：-1＜a＜0，
由①②③得，存在整数a=1，使得函数g（x）在区间（0，2）上存在极小值．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．