Question

1．已知四棱锥P-ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC中点．
（Ⅰ）在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；
（Ⅱ）在线段CD上是否存在一点E，使得直线AE与平面ADM所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A-MD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过M作MN∥BC，交PB于点N，由此求出结果．
（Ⅱ）以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP所在直线建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段CD上存在中点E，使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（Ⅲ）求出平面CMD的法向量和平面AMD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A-MD-C的平面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）过M作MN∥BC，交PB于点N，连接AN，如图，
则点N为平面ADM与PB的交点N（在图中画出）
由M为PC中点，得N为PB的中点．…（2分）
（Ⅱ）因为四棱锥P-ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，
以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP所在直线建立空间直角坐标系如图所示：
则A（0，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），M（1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），…（4分）
设在线段CD上存在一点E（x，1，0），则$\overrightarrow{AE}=（x，1，0）$…（5分）
设直线AE与平面AMD所成角为θ，平面AMD的法向量为$\overrightarrow u=（x，y，z）$，
则$\overrightarrow u⊥\overrightarrow{AM}，\overrightarrow u⊥\overrightarrow{AD}$，即$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0\\ y=0\end{array}\right.$，令z=2，则$\overrightarrow u=（-1，0，2）$，…（7分）
因为直线AE与平面ADM所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
所以$sinθ=\frac{{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow u|}}{{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow u|}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，所以x=1
所以在线段CD上存在中点E，
使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$…（8分）
（Ⅲ）设平面CMD的法向量$\overrightarrow v=（{x^'}，{y^'}，{z^'}）$，
则$\overrightarrow v⊥\overrightarrow{CM}，\overrightarrow v⊥\overrightarrow{CD}$，即$\left\{\begin{array}{l}-{x^'}-\frac{1}{2}{y^'}+\frac{1}{2}{z^'}=0\\-2{x^'}=0\end{array}\right.$，令z′=-1，则y′=-1，
所以$\overrightarrow v=（0，-1，-1）$…．…（10分）
所以$cosϕ=\frac{\overrightarrow v•\overrightarrow u}{|\overrightarrow v||\overrightarrow u|}=-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
由图形知二面角A-MD-C的平面角是钝角，
所以二面角A-MD-C的平面角的余弦值为$-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…..…（12分）

点评 本题考查线面交点的作法，考查满足线面角正弦值的点是否存在的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．