Question

20．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3-x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e^x-1的解集为（1，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x+1）=f（3-x）=f（x-3），
∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，
∵f（2015）=f（2015-4×504）=f（-1）=f（1）=2，
∴f（1）=2，
设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则函数的导数g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
故函数g（x）是R上的减函数，
则不等式f（x）＜2e^x-1等价为$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜$\frac{2}{e}$，
即g（x）＜g（1），
解得x＞1，
即不等式的解集为（1，+∞）．
故答案为（1，+∞）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．