Question

12．已知函数f（x）=ax²-2x+c，且f（x）＞0的解集是$\left\{{x|x≠\frac{1}{a}}\right\}$．
（1）求f（2）的最小值及f（2）取最小值时f（x）的解析式；
（2）在f（2）取得最小值时，若对于任意的x＞2，f（x）+4≥m（x-2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知函数f（x）=ax²-2x+c，且f（x）＞0的解集为{x|x≠$\frac{1}{a}$}，可以函数开口向上，与x轴有一个交点，从而求解；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，对于任意的x∈（2，+∞），f（x）+4≥m（x-2）恒成立，利用常数分离法，可以将问题转化为[$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$]_min≥m在x∈（2，+∞），恒成立，从而求出m的范围．

解答 解：（1）由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4ac=0}\end{array}\right.$⇒ac=1⇒c＞0
所以f（2）=4a-4+c≥2$\sqrt{4ac}$-4=0，
当且仅当4a=c即 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$时“=”成立，
由a=$\frac{1}{2}$，c=2得：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+2；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+2=$\frac{1}{2}$（x-2）²，
因为对于任意的x∈（2，+∞），f（x）+4≥m（x-2）恒成立，
∴m≤$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$在x∈（2，+∞），恒成立，
故[$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$]_min≥m即可，
又函数y=$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$在x∈（2，+∞）上递增，
所以[$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$]_min=2$\sqrt{2}$，
当且仅当x=2+2$\sqrt{2}$时“=”成立，
∴m≤2$\sqrt{2}$；

点评 此题主要考查二次函数的性质，以及解析式的求法，第二问利用了转化的思想，这是高考常考的热点问题，本题是一道中档题．