Question

16．已知圆C过原点，圆心在直线y=2x上，直线x+y-3=0与圆C交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
（1）求圆C的方程；
（2）若M（0，5），P为圆上的动点，求直线MP的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断圆心的位置，求出圆心与半径，然后求解圆的方程．
（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离关系求解MP向量的范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴圆心在x+y-3=0上，圆心在直线y=2x上，
可得$\left\{{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y-3=0}\end{array}}\right.$，
得x=1，y=2，圆心为（1，2），圆的半径为：$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=5．
（3）设直线为y=kx+5，由$d=\frac{{|{k+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}≤\sqrt{5}$，得$k≤-\frac{1}{2}$或k≥2，

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．